Coherence Resonance in a Noise-Driven Excitable System 논문 리뷰

오늘은 Arkady S. Pikovsky and Jürgen Kurths 두 저자의 "Coherence Resonance in a Noise-Driven Excitable System" 논문을 리뷰하려고 한다. 

 

 

연구 목표 :  Excitable system에서의 coherence resonance 현상에 대한 조사

 

이 논문은 ZMZ 아저씨의 Emergence of resonance in machine learning 논문을 리뷰하다가 추가적으로 보게 된 논문이다.

 

Noise-induced system에서 크게 구분을 하자면 stochastic resonance (SR)과 coherence resonance (CR)이 있는데, 이 논문에서는 CR에 초점을 맞추고 있다.

 

참고로 SR과 CR의 차이는 노이즈만 존재하는 시스템인지 (CR), 노이즈+외부 신호 가 존재하는 시스템인지 (SR)라고 하는데, 추후에 여유가 된다면 더 자세히 살펴보자.

 

 

이 논문에서는 Excitable system 중 대표적으로 Fitz Hugh-Nagumo (FHN) 모델을 다룬다.

 

$$  \varepsilon \frac{dx}{dt} = x - \frac{x^3}{3} - y, \quad \frac{dy}{dt} = x + a + D \xi(t).  $$

 

*Excitable system이란?

• 자극이 없을 때에는 fixed point에 머무르지만, 임계값 이상의 외부 자극이 추가되면 한동안 점프(pulse)를 뛰다가 다시 fixed point로 돌아오는 형태의 시스템
• 일반적으로 fast variable & slow variable 두개의 상호작용으로 구성됨

 

 

FHN 에서의 \( x,\,y \) 는 각각 fast variable, slow variable 역할을 담당하고 있다.

FHN 예시 그림

 

또한 매개변수인 \( a \) 의 크기에 따라 attractor의 형태가 아래와 같이 달라진다.

 

 

 

이 논문에서는 noise의 amplitude인 \( D \) 의 크기에 따라 시스템이 어떤 식으로 달라지는지를 조사한다.

 

 

 

 

Fig 1은 고정된 \( a \)와 \( \varepsilon \)에 대해 \( D \) 의 값을 (위에서부터) 0.02, 0.07, 0.25로 설정했을 때의 \( y \)에 대한 시계열 그림이다.

 

Notation으로,

• \( t_a \) 를 activation time,
• \( t_e \)를 excursion time (jump를 뛰기 시작한 시점부터 다시 평형 상태로 돌아오기까지 걸리는 시간),
• \( t_p = t_a + t_e \)

라고 하자.

 

 

 

noise의 정도가 너무 크거나 작은 경우 궤적의 패턴이 매우 불규칙적인 반면,

적정 수준의 noise를 추가해주면 (상대적으로) 궤적의 패턴이 일관적으로 (coherent) 변하는 것을 확인할 수 있는데,

저자들은 이러한 현상을 coherence resonance 라고 이름을 붙였다.

 

 

정량적으로 noise가 oscillator의 패턴에 주는 영향력을 조사하기 위해 저자들은 3개의 measurement를 사용하여 표현하였다.

 

첫번째로는 아래와 같은 자기상관함수 (autocorrelation function)를 사용하였다.

 

* \( C(\tau) \) 의 절댓값이 1에 가까울수록 \( t \) 시점과 \( t+\tau \) 시점에서의 상태가 유사함을 의미하고, 반대로 0에 가까울수록 두 궤적의 패턴이 매우 다름을 의미함.

 

 

Fig 2에서는 \( D \) 의 값을 (위에서부터) 0.02, 0.07, 0.25 로 두었을 때, \(x\) 축을 \( \tau \), \( y\) 값을 \( C(\tau) \) 로 표현한 그림이다.

noise의 정도가 적정 수준인 경우 (중간 그림) 나머지 두 경우에 비해 시스템이 과거의 패턴을 잘 유지하고 있음을 확인할 수 있다.

 

 

 

또한 \( \tau_c \)를 아래와 같이 정의하였고 (접어올린 곡선의 면적, 값이 클수록 과거와 현재의 궤적 패턴이 유사함을 의미), 

 

 

\( R_p \)를 아래와 같이 정의하였다 ( \( t_p \)의 분산이기 때문에, 값이 적을수록 궤적의 변동성이 적고 따라서 궤적의 패턴이 유사함을 의미함)

 

 

Fig 3에서 두 measurement를 \( D \)에 대해 계산해보니, \( R_p \) (점선)는 minimize, \( \tau_c \) (실선)는 maximize 되는 최적의 \( D \) 값이 존재하는 것을 볼 수 있다.

 

 

 

 

FHN 시스템에서의 Coherence resonance에 대한 Numerical 한 결과들은 위와 같고, 아래에서는 이론적인 이야기를 해보자.

 

 

아주 rough하게 이야기하자면, noise amplitude인 \(D\)의 값이 작은 경우 \( t_p \approx t_a \) 이고, \( D \) 의 값이 큰 경우에는 \( t_p \approx t_e \)를 따른다 (Ref 21-24 참조).

 

우리가 원하는 것은 \( t_p \)의 변동성이 최대한 줄어들기를 바라는 것이기 때문에, 결국 이를 위해서는 \( D \) 값이 너무 적지도 않고 크지도 않은, 적정 수준의 크기가 필요하다는 것을 직관적으로 생각해볼 수 있다.

 

 

 

아래에서 수식을 통해 조금 더 상세하게 살펴보자.

 

\( \varepsilon \)이 매우 작은 경우 FHN 시스템은 nearly limit cycle으로 제한되고,

slow motion 구간에서는 시스템이 \( y \)에 대한 1차원 Langevin equation으로 표현이 된다.

 

 

이렇게 세팅이 되면, Fokker-Planck equation을 사용하여 \( t_p \) ( \( y_0 \)에서 시작한 시스템이 \( y=0 \)에 도달하기까지 걸리는 시간)에 대한 통계값의 수식을 아래와 같이 유도할 수 있다.

 

 

 

이 논문에서는 Nonlinear potential term인 \( U(y) \)를 아래와 같이 세팅했을 때를 다룬다. ( \(A,\,B\)는 모두 1로 고정 )

 

 

어쨌건 보고싶은건 \( D \) 에 따라 \( R_p \)가 어떻게 달라지느냐인데, Fokker-Planck 방정식으로 유도한 수식을 따라가보면  \( D \) 값이 작을 때에는 \( R_p \approx 1 \), 클 때에는 \( R_p \sim D \) 가 되는 것을 확인할 수 있다고 한다.

 

앞에서의 Numerical 결과와 비슷하게 수식으로 유도한 값들을 \( D \)와 \(y_0 \)에 대해 그려보면 Fig 4의 결과를 얻을 수 있다.

 

알 수 있는 것은 크게 두가지다 : 

1. \( R_p \)가 minimize 되는 최적의 \( D \) 값이 존재한다
2. \( y_0 \)의 절댓값이 커질수록 (즉, 평형상태로 돌아오기까지 이동해야 하는 거리가 멀어질수록), 궤적의 현재 패턴이 과거와 비슷해지는 coherence resonance 현상이 더 극명하게 나타난다

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https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.78.775

Coherence Resonance in a Noise-Driven Excitable System